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開世定理-歐幾里得幾何學中的定理

時間:2022-04-28 17:45瀏覽次數:133
在幾何學中,開世定理是歐幾里得幾何學中的一個定理,可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。
開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世。

敘述

開世定理的背景是圓的內切圓。
設有半徑爲 的一個圓,圓內又有四個圓 內切於圓 (如圖1所示)。
如果將圓 的外公切線的長度設爲,那麼開世定理聲稱,有下列等式成立。
可以注意到,如果四個內切的圓都退化成點的話,就會變成圓 上的四個點,而開世定理中的等式也會化爲托勒密定理。
圖1

證明

設大圓的圓心是點;四個圓的圓心分別是點,半徑分別是。
每個圓與大圓 的切點分別是。
首先,根據勾股定理可以推出:對於任意的i 和j,都有接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用 來表示。
考慮三角形,根據三角形的餘弦定理:由於每個圓 都和大圓相切,所以:設點 爲大圓 上的任意一點,根據三角形的正弦定理,在三角形 之中,有:所以,餘弦式將以上 與 代入式子(2)中,就可以得到:再代入式子 (1)中,就得到 的表達式:以上等式對所有的i和j都成立,因此只要注意到四邊形 是圓內接四邊形,那麼對其應用應用托勒密定理就可以得到開世定理:證明完畢。

推廣

可以用類似的方法證明,只要當圓與大圓相切(不論是外切還是內切),就會有類似開世定理的等式成立。
這是需要註明,對任意的i 和j:1、如果圓是與大圓以同樣的方式相切(都是外切或者都是內切)的話,則表示兩個圓的外公切線的長度;2、如果圓是與大圓以不同的方式相切(一個是外切而另一個是內切)的話,則表示兩個圓的內公切線的長度。
另一個特點是:這定理的逆定理也成立。
也就是說,如果開世定理的等式成立,那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。

應用

在歐幾里得幾何學中,開世定理可以用來證明多種不同的結論。
比如說費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。
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