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龐加萊體-均勻流體球自轉時的平衡形狀

時間:2022-05-03 23:42瀏覽次數:56
龐加萊體,均勻流體球自轉時的一種平衡形狀。
1885年,龐加萊證明,除馬克勞林橢球體和雅可比橢球體外,均勻流體自轉時還存在另一類平衡形狀。
這類平衡形狀與橢球體相差很小,故在一些文獻中稱爲龐加萊橢球體。
又因爲李亞普諾夫已先在1884年提出存在這類平衡形狀,所以在有的文獻中又稱爲李亞普諾夫-龐加萊體。

形狀分態

①梨狀體或卵狀體。
和雅可比橢球體相比,一頭稍大,另一頭稍小;②帶狀體。
垂直於自轉軸的截面都是橢圓或圓,而子午截面不是橢圓,但與橢圓相差很小。
與橢圓比較時,有的弧段上要凸出些,有的則凹下些;③扇狀體。
它的子午截面都是橢圓或圓,而垂直於自轉軸的截面不是橢圓,但同橢圓相差很少。
與橢圓比較時,有的弧段凸出,有的凹下。
此外,還有一些更復雜的形狀。

研究經過

混沌的發現當我們試圖描畫由這兩條曲線和它們的無窮次相交(每一次相交都對應於一個雙漸近解)構成的圖形時,這些相交形成一種格子、絲網或無限密集的網柵結構;這兩條曲線從不會自相交叉,但爲了無窮多次穿過絲網的網節,它們必須以一種很複雜的方式摺疊回自身之上。
這一圖形的複雜性令人震驚,我甚至不想把它畫出來。
沒有什麼能給我們一個三體問題複雜性的更好的概念了。
從截面上一點出發的系統,經過一個過程後,當它再穿過截面時,卻在另一點交於龐加萊截面,簡直無法預言它下一次將從哪一點穿過截面;實際上系統是以無規的點的序列頻頻穿過龐加萊截面的。
這就是混沌,龐加萊在“三體問題”中發現了混沌!這一發現表明,即使在“三體系統”,甚至是極爲簡化的“希爾約化模型”中,牛頓力學的確定性原則也受到了挑戰,動力系統可能出現極其驚人的複雜行爲。
並不像人們原來認爲的那樣,動力系統從確定性的條件出發都可以得出確定的、可預見的結果;確定性動力學方程的某些解,出現了不可預見性,即走向混沌。
其實,在龐加萊動手解決奧斯卡國王的難題的同一年,即1887年,數學家布倫斯(Bruns,H.)就已證明,三體問題的9個自由度18個二階微分方程,只有10個運動積分,即3個動量積分,3個角動量積分,3個關於質心運動的積分和1個能量積分。
1890年,龐加萊將布倫斯的結論推廣到有攝動參數的情況;1892年在他的三卷本《天體力學新方法》的第一卷第四章中,他對這個定理做出了一般表述:在通常的保守問題中,經典力學正則方程除了滿足能量積分外,不滿足其它任何解析、一致的積分。
龐加萊的一般性結論,實質上是指出,可積系統是極少的;許多行爲很規則的系統,當受到擾動後,可能出現不連續性,其參數或初始條件的微小變化,就可能引起復雜的、甚或是性質上的變化。
龐加萊的工作提出了經典力學的確定性原則的適用限度的重大問題,留下了極富啓發性的論斷和猜想。
不過,混沌問題是太複雜了,龐加萊的時代還不具備揭示和描述混沌現象的足夠的知識儲備和數學工具。
雖然憑着他超人的幾何直覺對混沌的複雜性有所洞察,但是他並不真的是“不想”畫出他所發現的“同宿柵欄”,而是“無法”把它畫出來。
這是隻有用電子計算機技術才能處理的複雜幾何圖象。
龐加萊的思想是太超前於他的時代了,所以他的發現在半個多世紀裏並未受到科學界的重視;牛頓力學確定性的帷幕,仍然厚厚地遮蔽着混沌廣闊富饒的研究領域。
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